가우스님의 이글루

0.999.......= 1 ????

 이 문제에 대해 이해를 하기 위해서는 분수와 소수의 차이점에 대해 생각해볼 필요가 있다. 분수와 소수는 서로 표현할 수 있는 관계에 있다. 모든 분수는 소수로 표현가능하고, 유리수에 해당하는 소수들은 분수로 당연히 표현가능하다. 그럼에도 불구하고 이 둘은 근본적인 차이점이 있다. 그것이 무엇인가?

 예를 들어 1/3을 생각해보라. 그리고 0.3333333.....을 생각하라. 이 둘은 어떤 차이점이 있을까? 1/3이 의미하는 바부터 이야기하면, 이것은 1을 셋으로 똑같이 나눈 물리적 양이다. 아, 물론 굳이 물리적이지 않은 의미도 가지지만, 쉽게 생각하자면 그러한 물리량도 가진다. 우리 인간은 1을 똑같이 셋으로 나눌 능력이 되지 못한다. 아무리 평등하게 나누려고 해도 정확히 세등분하기는 무리다. 그럼에도 불구하고 우리는 논리적으로 이해할 수 있다. 이상적인 세계에서 1을 셋으로 똑같이 나눈 양으로 이해될 수 있다. 

 0.333333333....이 의미하는 바는 무엇일까? 이것은 0.3보다는 크고, 또한 0.33보다는 크고, 또한 0.333보다는 크고 ..... 하는 식으로 우리에게 '근사적'으로 다가온다. 물리학을 공부해본 사람이라면 누구나 '측정값을 포함한 근사값'으로 소수를 주로 활용하고 분수는 잘 활용하지 않는다는 것을 잘 알 것이다. 왜냐하면 분수는 '논리적으로 이해되는 양'이기 때문에 비슷한 크기의 분수 둘을 뒀을 때 어느쪽이 더 큰지 한눈에 알기 힘들다. 예를 들어 217/315 와 53/75 의 크기를 쉽게 구분가능한가? 그렇지 않을 것이다. 하지만 0.3333333336 과 0.3333333334의 크기비교는 무척이나 쉽다. 위의 두 분수의 크기차이보다는 훨씬 작은 차이가 나는데도 말이다. 이 예들을 통해 우리는 분수는 논리적인 개념의 수, 그리고 소수는 (물론 수학에서 다루는 개념이므로 논리적으로 정의되었겠지만) 수의 크기를 측정하거나 근사하거나 하는 측정적인 개념의 수가 된다.

 실제로 우리가 1/3을 0.333333333.... 으로 표현할 때 어떤 방법을 쓰는가? 아마 학교에서 수학을 배운 모든 사람들은 1을 3으로 나누면서 일단 0부터 써넣고 1 옆에 0을 하나 써넣은 후에 1과 3을 곱해서 빼는 일반적인 나눗셈처럼 계산할 것이다. 그런데 그 때 왜 6을 3으로 나눌 때처럼 딱 맞춰진 수를 넣지 않고 좀 부족한 1을 넣어서 계산하는걸까? 사실 정수 이외의 숫자들은 우리 인간들에게 그렇게 쉽게 다가오는 개념이 아니다. 매우 추상적인 개념이다. 자연수는 우리가 개수를 세는데 사용하며, 음수들은 그 반대의 개념이 필요한 경우 (예를 들어, 영상, 영하 개념)에 활용되기 때문에 우리 인간에게 매우 쉽게 다가온다. 하지만 분수를 포함한 유리수, 무리수를 비롯한 더 복잡한 개념들은 정수를 응용한 개념이기 때문에 근본적으로 우리 인간은 유리수나 무리수를 포함한 모든 수를 정수를 통해 이해한다고 볼 수 있다. 소수도 마찬가지다. 0.3333333.....이라는 표현속에 있는 수들은 모두 정수들이다. 1/3을 정확히 표현하자면, 0.(10/3)과 같이 딱 떨어져야 한다. 하지만 우리는 정수를 통해 그 수(의 크기)를 이해하기 위해 0.33333333....와 같은 표기를 쓰기로 약속했다. 그 결과 0.999999999......=1 이라는 결론이 생기는 것이다. 맞다. 좌변의 0.99999999....는 1에 대한 측정값이다. 1은 0.9보다 크고, 0.99보다 크고, 0.999보다 크고...... 하면서 1을 측정해보니까 0.9999999999999라는 것이다. 고로 1=0.99999......   라고 이해할 수 있다.

 개인적으로 수학의 정석에서 언급된 1/3=0.3333333..... 을 통해 0.9999.......=1 이라는 내용은 논리적으로는 납득이 가지만 본질적인 이해는 하지 못했고 무척이나 답답한 느낌이 들었었다. 많은 사람들이 0.999999999.....가 1보다 작지 않냐고 질문하는데는 소수의 크기를 비교할 때 0.333333333334와 0.333333333335 를 비교할 때처럼 왼쪽에 있는 숫자부터 차례로 확인하면서 숫자가 다르면 숫자가 큰 쪽이 큰 것을 알고 비교한다. 따라서 0.999999........=1 이라고 설명해주기 위해서는 크기를 비교할 때 분명히 1과 0으로 우변이 당연히 큰데 왜 그런 일이 있을 수 있는지를 설명해주어야 한다. 그래서 혼자 곰곰히 펜과 연습장만 가지고 골똘히 생각에 잠긴 결과 (당시 고2) 위와 같은 결론이 나왔던 것이다. 우리가 분수를 소수로 표현하는 방식은 정수를 통해 분수의 크기를 이해하려는 방식이기 때문에 위와 같은 근사적인 결과가 나온다. 소수라는 개념자체가 근사적이므로 근사적인 등식이 등장한다고 생각하면 될 것 같다.

 참고로 필자는 수학 박사학위를 가지고 있거나 수학이라는 한 분야의 천재적인 재능을 가지고 있거나 하지 않다. 따라서 필자의 생각에 잘못된 점이 있을 수 있으니 그 점에 대해서는 너그럽게 봐주고, 지적할 부분에 대해서는 지적만 하지말고, 격려와 비판을 섞어주면 감사하겠다.

 ps) 0.9999......=1 이 성립하는 등식이긴 하지만, 좌변과 우변은 보기에도 다르듯이 '의미하는 바'는 다르다. 좌변의 그것은 엄연히 결과가 1이 나오는 좌극한값의 무한소수적 표현이고, 우변은 수학의 단군할아버지라 할 수 있는 1이다.